マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件の問題【2021年常葉大学一般入試前期日程2日目】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

今回の問題
今回の問題について
今回の問題の解説
いかがだったでしょうか?

今回の問題

 a,\ bは実数とする。

(1) ab=5であることは a=1かつ b=5であるための( )

(2) ab\lt 0であることは |a|+|b|=|a-b|であるための( )

( )には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

常葉大学一般入試で出題された問題です。

2023年度入試まで必要条件・十分条件の問題が出題されていることが確認されましたので、しばらくはこの大学の問題を紹介していきます。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題 ab=5\Longrightarrow a=1かつ b=5の真偽を調べます。

 a=5,\ b=1 ab=5を満たしていますが、 a=1かつ b=5を満たしていません。

これが反例となりますので、この命題は偽となります。

命題 a=1かつ b=5\Longrightarrow ab=5は真です。

以上から、 ab=5 a=1かつ b=5であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

(2)の問題について

結論の等式の右辺と左辺の大小関係を見ていきます。

 \begin{eqnarray*} (|a|+|b|)^{2}-|a-b|&=&a^{2}+2|ab|+b^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2})\\ &=&a^{2}+2|ab|+b^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}\\ &=&2(|ab|+ab)\geqq 0\end{eqnarray*}

等号成立は |ab|=-abすなわち ab\leqq 0のときであるとわかります。

したがって、命題 ab\lt 0\Longrightarrow |a|+|b|=|a-b|は真、命題 |a|+|b|=|a-b|\Longrightarrow ab\lt 0 a=b=0が反例となりますので偽となります。

よって、 ab\lt 0 |a|+|b|=|a-b|であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか?

(2)の問題は反例を見つけることが難しいので、証明を試みてみることから始めてみました。

条件が等号が成立している状態であることですので、そこから反例を見つけ出すと楽ではないかと思います。

証明を試みなくても、命題 |a|+|b|=|a-b|\Longrightarrow ab\lt 0の反例は見つかるかもしれませんが、その逆が真であることが気が付かず、反例を見つけるのに時間がかかってしまいます。

このような問題は反例を挙げることも証明をすることも求められていませんので、サクッと終わらせたいですね。

 

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必要条件・十分条件の問題【2021年常葉大学一般入試前期日程1日目】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

今回の問題
今回の問題について
今回の問題の解説
いかがだったでしょうか?

今回の問題

条件 p,\ q,\ r,\ sを考える。この p,\ q,\ r,\ sについて、次のことが成り立つとする。

(a) q pが成り立つための必要条件である。

(b) q rが成り立つための十分条件である。

(c) p rが成り立つための必要条件である。

(d) s rが成り立つための必要条件であるが、十分条件ではない。

このとき、 r pが成り立つための( )、 q sが成り立つための( )

( )には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

令和3年常葉大学の一般入試前期日程1日目の問題からです。

常葉大学では令和3年以降全日程で必要条件・十分条件に関する問題が出題されています。

今年も全日程で出題されるかもしれません。

今回の問題の解説

わかっている情報を整理すると

(a)より命題 p\Longrightarrow qが真

(b)より命題 q\Longrightarrow rが真

(c)より命題 r\Longrightarrow pが真

(d)より命題 r\Longrightarrow sが真で命題 s\Longrightarrow rは偽

となります。まずは前半の r pが成り立つための何条件かを見るために命題 r\Longrightarrow p p\Longrightarrow rの真偽を調べてみます。

(c)より命題 r\Longrightarrow pは真です。また、(a)と(b)を合わせると命題 p\Longrightarrow rは条件 qを使って証明が可能ですので、この命題も真となります。したがって、 r pが成り立つための「必要十分条件」となります。

後半の q sが成り立つための何条件かを見てみます。

命題 q\Longrightarrow sについては、(b)と(d)より条件 rを使ってこの命題が証明可能ですのでこの命題は真であることがわかります。ですが、命題 s\Longrightarrow qに関しては条件 sが条件 p十分条件であるかそうでないかという情報がありませんので、真であるか偽であるかの判定はできません。ですので、 q sが成り立つための「十分条件」ということになります。

いかがだったでしょうか?

抽象的な問題で少し難しいかもしれません。

ですが、わかっている情報を整理すれば簡単に解くことができます。

情報を整理することは数学だけでなく、日常生活や仕事でも大いに役に立つことがあります。

 

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八戸工業大学の過去問【2021年一般入試】

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目次

今回の問題
問題の難易度について
第1問
第2問
第3問
いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

今回の問題

八戸工業大学の2021年一般入試の問題です。

この問題の一部もマーク方式の問題にして紹介しました。記事を探してみたら2年前に書いたものでした。Markdownを導入する前の記事だったので、解説がかなり雑ですね。今回は数式を入れてしっかりと解説していきたいと思います。

以前書いた記事はこちらから。↓(問題順にしています)

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題の難易度について

難易度は☆☆です。

去年より計算量が減り、易化したように思います。教科書の問題を全問解けるくらいの実力があれば大丈夫かと思います。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説(第1問)

第1問

第1問の解説

問1

不等式を解いていきます。

 \begin{eqnarray*} 2x(4x+11)&\lt &21\\ 8x^{2}+22x-21&\lt &0\\ (2x+7)(4x-3)&\lt &0\end{eqnarray*}

よって、不等式の解は \displaystyle -\frac{7}{2}\lt x\lt \frac{3}{4}ですので、これを満たす整数は -3,\ -2,\ -1,\ 0の4つです。

問2

2次関数 y=4x^{2}+3kx+5のグラフと直線 y=-kxとの交点の x座標は x2次方程式

 4x^{2}+3kx+5=-kx…①

の実数解になります。方程式①を整理すると

 4x^{2}+4kx+5=0

となります。この方程式の判別式を Dとすると

 D/4=4k^{2}-20

となります。2次関数 y=4x^{2}+3kx+5のグラフと直線 y=-kxが接する条件は D=0ですので、この条件を満たすような kの値は k=\pm \sqrt{5}ですが、問題の要請で k\lt 0となっていますので k=-\sqrt{5}が答となります。

問3

2次関数の式を変形(平方完成)すると

 \displaystyle y=-\left( x-\frac{a}{2}\right) ^{2}+\frac{a^{2}}{4}+24

となります。この関数の最大値が 49ですので、 aについての方程式

 \displaystyle \frac{a^{2}}{4}+24=49

が成り立ちます。この方程式を解くと

 \begin{eqnarray*} \frac{a^{2}}{4}+24&=&49\\ \frac{a^{2}}{4}&=&25\\ a^{2}&=&100\end{eqnarray*}

問題文の要請から a\gt 0となっていますので a=10が答となります。

問4

求める2次関数を y=ax^{2}+bx+cとおきます。点 A(1,-7)を通りますので

 a+b+c=-7

 B(2,-4)を通りますので

 4a+2b+c=-4

 C(-3,41)を通りますので

 9a-3b+c=41

が成り立っています。したがって、次の連立方程式を解くことになります。

 \left\{ \begin{array}{ccc} a+b+c&=&-7\\ 4a+2b+c&=&-4\\ 9a-3b+c&=&41\end{array}\right.

この連立方程式の解は (a,b,c)=(3,-6,-4)ですので、求める2次関数は y=3x^{2}-6x-4となります。

問題と問題の解説(第2問)

第2問

第2問の解説

問1

 0^{\circ }\lt \theta \lt 90^{\circ }のとき \sin{\theta }\gt 0です。三角比の相互関係 \sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1より

 \begin{eqnarray*} \sin{\theta }&=&\sqrt{1-\left( \frac{2}{3}\right) ^{2}}\\ &=&\sqrt{1-\frac{4}{9}}\\ &=&\sqrt{\frac{5}{9}}\\ &=&\frac{\sqrt{5}}{3}\end{eqnarray*}

となります。三角比の相互関係 \displaystyle \frac{\sin{\theta }}{\cos{\theta }}=\tan{\theta }より \displaystyle \tan{\theta }=\frac{\sqrt{5}}{3}となります。

問2

条件式から \sin{\theta }\cos{\theta }の値を求めると

 \begin{eqnarray*} (\sin{\theta }+\cos{\theta })^{2}&=&\frac{1}{3}\\ \sin^{2}{\theta }+2\sin{\theta }\cos{\theta }+\cos^{2}{\theta }&=&\frac{1}{3}\\ 1+2\sin{\theta }\cos{\theta }&=&\frac{1}{3}\\ 2\sin{\theta }\cos{\theta }&=&-\frac{2}{3}\\ \sin{\theta }\cos{\theta }&=&-\frac{1}{3}\end{eqnarray*}

となります。したがって、三角比の相互関係 \displaystyle \frac{\sin{\theta }}{\cos{\theta }}=\tan{\theta }を用いると

 \begin{eqnarray*} \tan{\theta }+\frac{1}{\tan{\theta }}&=&\frac{\sin{\theta }}{\cos{\theta }}+\frac{\cos{\theta }}{\sin{\theta }}\\ &=&\frac{\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }}{\sin{\theta }\cos{\theta }}\\ &=&\frac{1}{-\frac{1}{3}}\\ &=&-3\end{eqnarray*}

問3

三角比の相互関係 \sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1を用いると、 \sin{B}\gt 0なので

 \begin{eqnarray*} \sin{B}&=&\sqrt{1-\left( \frac{4}{5}\right) ^{2}}\\ &=&\sqrt{1-\frac{16}{25}}\\ &=&\sqrt{\frac{9}{25}}\\ &=&\frac{3}{5}\end{eqnarray*}

となります。したがって、 \triangle ABCの面積は次のように計算して求められます。

 \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\times AB\times BC\times \sin{B}&=&\frac{1}{2}\times 7\times 3\times \frac{3}{5}\\ &=&\frac{63}{10}\end{eqnarray*}

問4

三角形の3つの辺の長さが与えられていますので、 \triangle ABC余弦定理を用いると

 \begin{eqnarray*} \cos{A}&=&\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\times AB\times AC}\\ &=&\frac{\frac{55}{4}+55-110}{2\times \frac{\sqrt{55}}{2}\times \sqrt{55}}\\ &=&\frac{55(\frac{1}{4}+1-2)}{55}\\ &=&\frac{1}{4}+1-2\\ &=&\frac{1}{4}+\frac{4}{4}-\frac{8}{4}\\ &=&-\frac{3}{4}\end{eqnarray*}

問題と問題の解説(第3問)

第3問

第3問の解説

問1

方程式 x^{4}+x^{3}-18x^{2}+12x+144=0を考えることになります。この方程式は x=0に解を持ちませんので、両辺を x^{2}(\not= 0)で割ると

 \displaystyle x^{2}+x-18+\frac{12}{x}+\frac{144}{x^{2}}=0…①

となります。ここで

 \begin{eqnarray*} \left( x+\frac{12}{x}\right) ^{2}&=&x^{2}+24+\frac{144}{x^{2}}\end{eqnarray*}

が成り立ちますので、 \displaystyle t=x+\frac{12}{x}とおくと \displaystyle x^{2}+\frac{144}{x^{2}}=t^{2}-24となります。したがって、方程式①を tで表すと

 t^{2}+t-42=0

となります。この tについての2次方程式を解くと

 \begin{eqnarray*} t^{2}+t-42&=&0\\ (t-6)(t+7)&=&0\end{eqnarray*}

となりますので、 t=6または t=-7がこの方程式の解となります。

問2

問1より、方程式 f(x)=0の解は \displaystyle x+\frac{12}{x}=6または \displaystyle x+\frac{12}{x}=-7を満たすような xの値となります。

 \displaystyle x+\frac{12}{x}=6を解くと

 \begin{eqnarray*} x+\frac{12}{x}&=&6\\ x^{2}+12&=&6x\\ x^{2}-6x+12&=&0\end{eqnarray*}

この方程式を2次方程式の解の公式を用いて解くと x=3\pm \sqrt{3}iとなります。

 \displaystyle x+\frac{12}{x}=-7を解くと

 \begin{eqnarray*} x+\frac{12}{x}&=&-7\\ x^{2}+12&=&-7x\\ x^{2}+7x+12&=&0\\ (x+3)(x+4)&=&0\end{eqnarray*}

したがって、この方程式の解は x=-3,\ -4となります。

以上から、 f(x)=0の解は x=3\pm \sqrt{3}i,\ -3,\ -4となります。

いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

2019年、2020年の問題と比べると計算量が減っています。

全体的に見てかなり楽に解ける問題ではないかと思います。

問3についても誘導がついているので解きやすい問題でした。

この年の受験生はラッキーだったかもしれません。

 

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必要条件・十分条件の問題【2023年大阪大谷大学】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

今回の問題
今回の問題について
今回の問題の解説
いかがだったでしょうか?

今回の問題

(1) a=b=0であることは a+b=0であるための( )

(2) a=bであることは |a+b|=|a-b|であるための( )

( )には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

令和5年の大阪大谷大学からの問題です。

大学入試の問題ですので、しっかり命題を立てて慎重に証明もしくは反例を探していかないと落とし穴にかかってしまいます。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題「 a=b=0\Longrightarrow a+b=0」の真偽を調べます。

 a=b=0のとき a+b=0+0=0となりますので、この命題は真です。

命題「 a+b=0\Longrightarrow a=b=0」の審議を調べます。

 a=1,\ b=-1のとき a+b=1-1=0で仮定を満たしていますが、結論の a=b=0は満たしていません。これが反例となりますので、この命題は偽です。

以上から、 a=b=0であることは a+b=0であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

(2)の問題について

命題「 a=b\Longrightarrow |a+b|=|a-b|」の真偽を調べます。

 a=b=1のとき、仮定の a=bを満たしていますが |a+b|=2,\ |a-b|=0となりますので、結論の |a+b|=|a-b|を満たしていません。これが反例となりますので、この命題は偽です。

命題「 |a+b|=|a-b|\Longrightarrow a=b」の真偽を調べます。

 a=0,\ b=1のとき、 |a+b|=1,\ |a-b|=1となりますので、仮定は満たしています。ところが a\not= bですので、結論の a=bを満たしていません。これが反例となりますので、この命題は偽です。

以上から、 a=bであることは |a+b|=|a-b|であるための「必要条件でも十分条件でもない」となります。

いかがだったでしょうか?

反例を見つけるには式変形をしてみるのが良いかと思います。

例えば、 a+b=0を満たして、 a=bではないものを探したいときは a+b=0 a=-bと変形すれば a bのうちどちらかの数値を設定してやれば反例が出てきます。ただし、 a=0に設定してしまうと b=0となって a=bを満たしてしまうので、これを避けて設定します。

 |a+b|=|a-b|を満たすもので a=bを満たさないものを探したいときは a bのどちらかを 0に設定すると探すのが楽です。今回の場合は a=0に設定しましたが、そうすると |b|=|-b|…①となる数 bを探すことになります。ですが、絶対値の性質より、①を満たす数 bは何でも良いので、 aと異なる数値を設定してあげるとそれが反例として挙げることができます。

反例を挙げるのは簡単な数値を使うことが1つのコツです。

 

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必要条件・十分条件の問題【2023年東京純心大学】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

今回の問題
今回の問題について
今回の問題の解説
いかがだったでしょうか?

今回の問題

(1) \angle A=\angle Bであることは、 \triangle ABC二等辺三角形であるための( )

(2) a,\ bが実数であるとき、 |a|+|b|\gt 2であることは |a+b|\gt 2であるための( )

( )には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

今回は令和5年の東京純心大学の問題からです。

命題を立てて、注意深く反例を探さないと点数を落としてしまうような問題です。

今回の問題の解説

(1)の問題について

二等辺三角形の定義は「三角形の3辺のうち2辺の長さが等しい三角形」です。「三角形の3つの角のうち2つの角が等しい三角形」であることはこの定義を用いて出てくる定理です。この定理を用いると、「 \angle A=\angle B\Longrightarrow \triangle ABC二等辺三角形」という命題は正しいので真の命題となります。

一方、命題 \triangle ABC二等辺三角形 \Longrightarrow \angle A=\angle B」という命題は \angle A=120^{\circ },\ \angle B=\angle C=30^{\circ } \triangle ABC二等辺三角形ですが、結論の \angle A=\angle Bを満たしていませんので、これが反例となります。よって、この命題は偽となります。

以上から、 \angle A=\angle Bであることは \triangle ABC二等辺三角形であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

(2)の問題について

三角不等式 |a|+|b|\geqq |a+b|を用いて考えるとすぐに分かるだろうと思います。

命題 |a|+|b|\gt 2\Longrightarrow |a+b|\gt 2の真偽については a=2,\ b=-1のとき |a|+|b|=3\gt 2で仮定を満たしますが |a+b|=1\lt 2で結論を満たしていません。よって、この命題は偽となります。

一方、 |a+b|\gt 2\Longrightarrow |a|+|b|\gt 2という命題は、先程の三角不等式を用いると

 |a|+|b|\geqq |a+b|\gt 2

が成り立ちますので、この命題は真ということがわかります。

以上から、 |a|+|b|\gt 2であることは |a+b|\gt 2であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか?

今回は2問とも命題に関わる定理を使って真偽を調べました。

定理とは「証明される事柄のうち重要なもの」ですので、厳密には証明が必要です。

ですが、ほとんどの定理は共通認識のように扱われていますので、一般的な高校入試では中学で習った範囲内の定理、大学入試では高校で習う最大限の範囲の定理は証明なしで使うことが許されるかと思います。

マーク方式の試験や短答式の問題は答だけ書けば良いので「この定理は使っても良いのか?」という心配は要らなさそうですね。

 

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八戸工業大学の過去問【2020年一般入試】

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目次

今回の問題
問題の難易度について
第1問
第2問
第3問
いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

今回の問題

八戸工業大学の2020年一般入試の問題です。

この年の問題もマーク方式にして紹介しました。↓

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題の難易度について

難易度は☆☆☆です。

昨年よりかは計算量は減りましたが、それでも注意深く計算をしないとミスを誘発してしまいます。解く方針を立てるのは基礎的な知識で充分です。問題文にも要注意です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説(第1問)

第1問

第1問の解説

問1

 15x^{2}-23x-22=(5x-11)(3x+2)ですので、不等式は

 (5x-11)(3x+2)\gt 0

と変形できます。この不等式の解は \displaystyle x\lt -\frac{2}{3},\ \frac{11}{5}\lt xですが、 x\gt 0が問題で要請されていますので \displaystyle x\gt \frac{11}{5}が答えになります。

問2

 x2次方程式 \displaystyle \frac{1}{3}x^{2}+kx+x+\frac{4}{3}=0を整理すると

 \displaystyle x^{2}+(3k+3)x+4=0

となります。この方程式の判別式を Dとすると

 \begin{eqnarray*} D&=&(3k+3)^{2}-4\times 1\times 4\\ &=&9k^{2}+18k+9-16\\ &=&9k^{2}+18k-7\\ &=&(3k-1)(3k+7)\end{eqnarray*}

となります。放物線 \displaystyle y=\frac{1}{3}x^{2}+kx+x+\frac{4}{3} x軸に接するとき D=0が条件となりますので、このような kの値は \displaystyle k=-\frac{7}{3} \displaystyle k=\frac{1}{3}ですが、 k\lt 0が問題文で要請されていますので \displaystyle k=-\frac{7}{3}が答となります。

問3

与えられている2次関数を式変形(平方完成)すると

 \begin{eqnarray*} y&=&-\frac{5}{2}x^{2}+15x-\frac{19}{2}\\ &=&-\frac{5}{2}(x-3)^{2}+\frac{45}{2}-\frac{19}{2}\\ &=&-\frac{5}{2}(x-3)^{2}+13\end{eqnarray*}

となりますので、この関数は x=3のとき最大値 13をとります。

問4

求める2次関数を y=ax^{2}+bx+cとおくと、点 A(4,-19)を通るので

 16a+4b+c=-19…①

 B(-3,-26)を通るので

 9a-3b+c=-26…②

 C(6,-53)を通るので

 36a+6b+c=-53…③

を満たします。①、②、③より、連立方程式

 \left\{ \begin{array}{ccc} 16a+4b+c&=&-19\\ 9a-3b+c&=&-26\\ 36a+6b+c&=&-53\end{array}\right.

を解くことになりますが、この連立方程式の解は (a,b,c)=(-2,3,1)となりますので、求める2次関数は y=-2x+3x+1となります。

問題と問題の解説(第2問)

第2問

第2問の解説

問1

三角比の相互関係 \displaystyle 1+\tan^{2}{\theta }=\frac{1}{\cos^{2}{\theta }}より

 \begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos^{2}{\theta }}&=&1+\left( -\frac{12}{5}\right) ^{2}\\ &=&1+\frac{144}{25}\\ &=&\frac{169}{25}\end{eqnarray*}

となりますので、 \displaystyle \cos^{2}{\theta }=\frac{25}{169}となります。三角比の相互関係 \sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1より

 \begin{eqnarray*} \sin^{2}{\theta }&=&1-\frac{25}{169}\\ &=&\frac{144}{169}\end{eqnarray*}

となります。 90^{\circ }\lt \theta \lt 180^{\circ }より \sin{\theta }\gt 0ですので \displaystyle \sin{\theta }=\frac{12}{13}となります。

問2

与えられている条件式の両辺を2乗し、三角比の相互関係を用いて \sin{\theta }\cos{\theta }の値を求めると

 \begin{eqnarray*} (\sin{\theta }+\cos{\theta })^{2}&=&\frac{4}{9}\\ \sin^{2}{\theta }+2\sin{\theta }\cos{\theta }+\cos^{2}{\theta }&=&\frac{4}{9}\\ 1+2\sin{\theta }\cos{\theta }&=&\frac{4}{9}\\ 2\sin{\theta }\cos{\theta }&=&-\frac{5}{9}\\ \sin{\theta }\cos{\theta }&=&-\frac{5}{18}\end{eqnarray*}

問3

三角形の内角の和が 180^{\circ }であることより \angle C=120^{\circ }となります。 \triangle ABCに正弦定理を用いると

 \displaystyle \frac{AB}{\sin{C}}=\frac{BC}{\sin{A}}

が成り立ちます。ここから ABの長さを求めると、 \displaystyle \sin{C}=\frac{\sqrt{3}}{2},\ \sin{A}=\frac{1}{\sqrt{2}},\ BC=6であるので

 \displaystyle AB=6\times \sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{6}

問4

三角形の3辺の長さが与えられているので、 \triangle ABC余弦定理を用いると

 \begin{eqnarray*} \cos{A}&=&\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\times AB\times AC}\\ &=&\frac{8+5-11}{2\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{5}}\\ &=&\frac{2}{4\sqrt{10}}\\ &=&\frac{\sqrt{10}}{20}\end{eqnarray*}

問題と問題の解説(第3問)

第3問

第3問の解説

問1

分子と分母をそれぞれ展開します。

 \begin{eqnarray*} (-1+i)(4+3i)&=&-4-3i+4i+3i^{2}\\ &=&-7+i\\ (2+i)(-1+3i)&=&-2+6i-i+3i^{2}\\ &=&-5+5i\end{eqnarray*}

よって、与えられた複素数 \displaystyle \frac{-7+i}{-5+5i}と変形できます。この複素数の分母を実数化して整理すると

 \begin{eqnarray*} \frac{-7+i}{-5+5i}&=&\frac{(-7+i)(-5-5i)}{(-5)^{2}+5^{2}}\\ &=&\frac{(7-i)(5+5i)}{50}\\ &=&\frac{35+35i-5i-5i^{2}}{50}\\ &=&\frac{40+30i}{50}\\ &=&\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i\end{eqnarray*}

となります。

問2

以下の筆算により、求める余りは -12x+4となります。

いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

去年よりかは計算量が減りましたが、根気強くやっていかないといけないところは変わっていません。

実際の試験時間は60分ですが、問題量としては大問が3つだけなので時間的には余裕はありそうです。

「諦めずに前へ進め」というメッセージが込められているのでしょうか?精神力を鍛えるには良い問題かもしれません。

 

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必要条件・十分条件の問題【2023年国立病院機構中国・四国付属看護学校A日程】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

今回の問題
今回の問題について
今回の問題の解説
いかがだったでしょうか?

今回の問題

(1)自然数 m,\ nに関して、 m+n,\ mnがともに偶数であることは m,\ nがともに偶数であるための( )

(2) 0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }のとき、 \sin{\theta }\gt \cos{\theta }であることは、 45^{\circ }\leqq \theta \leqq 135^{\circ }であるための( )

( )には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

今回は令和5年国立病院機構中国・四国付属看護学校の問題からです。

しっかりやるのであれば証明や不等式を解くといったようなことをする必要があるので、時間がかかる問題です。

直感的に答えられそうな問題ですが少し危険です。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題「 m+n,\ mnがともに偶数 \Longrightarrow m,\ nがともに偶数」の真偽を調べます。

 m+nが偶数なので、 m nはともに奇数か、ともに偶数となります。また、 mnが偶数なので、 m nのうち少なくとも一方が偶数になります。この両者を合わせると m,\ nはともに偶数となりますので、この命題は真となります。

命題「 m,\ nがともに偶数 \Longrightarrow m+n,\ mnがともに偶数」の真偽を調べます。

 m=2k,\ n=2l k,\ l自然数とします)とおくと

 m+n=2k+2l=2(k+l)

 mn=4kl=2(2kl)

となりますので、 m+n mnはともに偶数となります。

よって、この命題は真です。

以上から、 m+n mnがともに偶数であることは m,\ nがともに偶数であるための「必要十分条件」となります。

(2)の問題について

不等式 \sin{\theta }\gt \cos{\theta }を解くと

 \begin{eqnarray*} \sin{\theta }-\cos{\theta }&\gt &0\\ \sqrt{2}\sin{(\theta -45^{\circ })}&\gt &0\end{eqnarray*}

 0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }より -45^{\circ }\leqq \theta -45^{\circ }\leqq 135^{\circ }となりますので、この範囲内で不等式を満たす \theta の値の範囲を求めると 45^{\circ }\lt \theta \leqq 180^{\circ }となります。ここで、集合 P,\ Qをそれぞれ

 P=\{ \theta |\sin{\theta }\gt \cos{\theta }\} ,\ Q=\{ \theta |45^{\circ }\leqq \theta \leqq 135^{\circ }\}

とおくと、 P Qには包含関係が成り立ちませんので、 \sin{\theta }\gt \cos{\theta }であることは、 45^{\circ }\leqq \theta \leqq 135^{\circ }であるための「必要条件でも十分条件でもない」となります。

いかがだったでしょうか?

方程式や不等式があるような問題は一度その方程式、不等式を解いて集合で表すことを考えてみてください。

集合の包含関係を見れば必要条件・十分条件の判定を行うことができます。

 

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