マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2020年1日目第2問】

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今週は東京女子大学2020年の問題です。

今回は文系学部1日目第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

4次関数とその他の直線で囲まれる図形の面積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

まずはグラフを描いてみます。

 f(x)=(x+a)^{2}(x-a)^{2}の右辺を展開すると x^{4}-2a^{2}x^{2}+a^{4}となります。

 y=f(x)のグラフを描くためには、この関数の増減を調べる必要がありますが、そのためには導関数を求めなければいけません。

 f(x)導関数 f^{\prime }(x)とすると

 f^{\prime }(x)=4x^{3}-4a^{2}x

 =4x(x+a)(x-a)

となります。 a\gt 0であることから、関数 f(x)の増減は以下のようになります。

 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&\cdots &-a&\cdots &0&\cdots &a&\cdots \\ \hline f^{\prime }(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline f(x)&\searrow &0&\nearrow &a^{4}&\searrow &0&\nearrow \\ \hline \end{array}

この増減表から、 y=f(x)のグラフを描いてみると以下のようになります。(下の図は a=1のときのグラフです)

求めるものは、 y=f(x) x軸とで囲まれる部分の面積 S y=f(x)のグラフと直線 y=a^{4}で囲まれた2つの部分の面積の和 Tです。

上の図では、赤い点線が y=a^{4}にあたる直線で、手書きで S Tと書いてあるところがそれぞれ求める部分の面積です。

ここまでくると、あとは積分計算をするだけですが、この計算でミスが起こりやすいので注意が必要です。

 \displaystyle S=\int^{a}_{-a}(x+a)^{2}(x-a)^{2}dx=\frac{16}{15}a^{5}

図形 T y軸に関して対称であることに注意して

 \displaystyle T=\int^{\sqrt{2}a}_{0}(x+a)^{2}(x-a)^{2}dx=\frac{16}{15}\sqrt{2}a^{5}

いかがだったでしょうか?

このタイプの問題はグラフを描いたほうが解く方針が見出せそうです。

導関数を求めて関数の増減を調べるとグラフを描くことができます。

厳密には2次導関数まで求めてグラフの凹凸(上に凸なのか下に凸なのか)を調べる必要がありますが、グラフの大体の形が分かれば良いのでその必要はありません。

4次関数を扱っているので計算は少し大変ですが、やることは3次関数のときと全く同じです。

 

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東京女子大学の問題【2020年1日目第1問】

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今回は文系学部1日目第1問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

三角関数を2次関数に帰着させる問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

関数は y=-\sin^{2}{\theta }-2a\cos{\theta }+1-aとなっています。

この場合は、三角関数の1次の項に \cos{\theta }があるので、 \cos{\theta }の式で表すことを考えます。

そうすると、三角関数の相互関係より

 y=\cos^{2}{\theta }-2a\cos{\theta }-a

と表すことができます。

見通しをよくするために \cos{\theta }=tとおくと、関数は

 y=t^{2}-2at-a

と表すことができます。置き換えをした場合は、置き換えた文字のとりうる値の範囲に注意します。

 0\leqq \theta \lt 2\pi ですので -1\leqq \cos{\theta }\leqq 1です。

したがって、 -1\leqq t\leqq 1 tのとりうる値の範囲です。

 y tの2次関数なので、平方完成して

 y=(t-a)^{2}-a^{2}-a

としておきます。したがって、この関数の最小値 m(a)

 m(a)=\left\{ \begin{array}{cc} a+1&(a\lt -1)\\ -a^{2}-a&(-1\leqq a\leqq 1)\\ 1-3a&(a\gt 1)\end{array}\right.

となります。

求めるものは m(a)の最大値ですが、このままではわかりづらいのでグラフを描いてみます。

青い線が y=m(x)のグラフです。

このグラフを見ると -1\leqq x\leqq 0のところで最大値を持つことがわかります。

この部分の m(a)の式は \displaystyle -a^{2}-a=-\left( a+\frac{1}{2}\right) ^{2}+\frac{1}{4}ですので、 m(a) \displaystyle a=-\frac{1}{2}のとき最大値 \displaystyle \frac{1}{4}をとることがわかります。

いかがだったでしょうか?

三角関数やその他の関数を置き換える場合は置き換えた文字のとりうる値の範囲に注意する必要があります。

そのためには置き換えた関数の特徴をとらえておかなければなりません。

このあたりは基礎事項になりますので、こういうところは自由自在に思い出せれるようにしておきたいですね。

 

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東京女子大学の問題【2019年2日目第4問】

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今回は文系学部2日目第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

漸化式の問題です。置き換えがあるのでそこまで難しくないです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

漸化式の両辺を \displaystyle \left( \frac{3}{4}\right) ^{n+1}で割ると

 \left( \frac{4}{3}\right) ^{n+1}a_{n+1}=\left( \frac{4}{3}\right) ^{n}a_{n}+\frac{4}{3}

となります。ここで \displaystyle \left( \frac{4}{3}\right) ^{n}a_{n}=b_{n}とおくと、漸化式は

 \displaystyle b_{n+1}=b_{n}+\frac{4}{3}

となります。この漸化式から数列 \{ b_{n}\}は初項が \displaystyle -\frac{4}{3}、公差が \displaystyle \frac{4}[3}の等差数列であることがわかります。

したがって、 \displaystyle b_{n}=\frac{4}{3}n-\frac{8}{3}となります。

置き換えを元に戻すと \displaystyle a_{n}=(n-2)\left( \frac{3}{4}\right) ^{n-1}となります。

数列 \{ a_{n}\}の階差数列を考えると

 \displaystyle a_{n+1}-a_{n}=\left( -\frac{1}{4}n+\frac{5}{4}\right) \left( \frac{3}{4}\right) ^{n}

となります。この符号を調べれば良いのですが、 \displaystyle \left( \frac{3}{4}\right) ^{n-1}\gt 0ですので -\frac{1}{4}n+\frac{5}{4}の符号を調べれば良いことになります。

 \displaystyle -/frac{1}{4}n+\frac{5}{4}=0となる自然数を求めると n=5ですので、次のことがいえます。

 n\leqq 4のとき a_{n}\lt a_{n+1} n=5のとき a_{5}=a_{6} n\geqq 6のとき a_{n}\gt a_{n+1}

したがって、 a_{n}の最大値は \displaystyle a_{5}=a_{6}=\frac{243}{256}です。

いかがだったでしょうか?

最近の漸化式の問題は置き換えが指定されていることが多いです。

このような場合は問題の通りにやっていくと教科書に出てくるような漸化式に帰着できることがほとんどです。

ですので、基礎問題を身に付けておけば難なく解くことができます。

まずは練習でしょうか。このような問題はたくさんあるので数多くの問題とであるのが良いかもしれません。

 

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東京女子大学の問題【2019年2日目第3問】

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今週は東京女子大学2019年の問題です。

今回は文系学部2日目第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

面積を2等分する放物線を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

まず、放物線 Cが点 Qを通るときを考えます。

放物線 Cが点 Q(4,4)を通るとき、方程式 4=16aが成り立ちますので、この方程式を解いて \displaystyle a=\frac{1}{4}となります。

次に放物線 Cが正方形OPQRの面積を2等分するときの状況を考えます。

このとき、方程式 Cは線分 PQを通ることが考えられますので、 \displaystyle a\gt \frac{1}{4}…①が条件となります。

正方形OPQRの面積が16ですので、 y軸と放物線 C、直線 y=4で囲まれる部分の面積が8となるような aの値を求めれば良いです。

 y軸と放物線 C、直線 y=4で囲まれる部分の面積は、座標平面を横に向けて考えると

 \displaystyle \int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{a}}}(4-ax^{2})dx=\frac{16}{3\sqrt{a}}

この値が8となれば良いので \displaystyle a=\frac{4}{9}となり、この値は条件①を満たします。

いかがだったでしょうか?

最後の座標平面を横にして考えることがなかなか出てこないかもしれません。

そうでなければ無理関数を扱うことになりますので、数学Ⅲを習っていない人からすると苦しいかもしれません。

ただ、この問題は文系学部で出題されたものですので、数学Ⅲの知識を使わずに解く方法が必ずあるはずです。

 

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東京女子大学の問題【2日目第1問・2日目第2問】

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今回は文系学部2日目第1問と第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

確率の問題とメネラウスの定理を用いる問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)確率を求める基本は全ての場合の数を求めることと、必要な場合の数を数え上げることです。

まず、1から6までの数が1つずつ書かれた6枚のカードの中から同時に4枚取り出すときの全てのカードの取り出し方を数え上げます。

取り出したカードの数は小さい順に並べたものだけを考えれば良いので、数え上げるべき場合の数は6枚のカードの中から4枚のカードを取り出す組合せの総数になります。

したがって、カードの取り出し方は全部で _{6}C_{4}=15通りになります。

続いて、必要な場合の数の数え上げを行います。

 X_{1}=3となるカードの取り出し方は、取り出したカードの数の最小値が 3となればいいのですが、その取り出し方は (3,4,5,6)の1通りしかありません。

よって、 X_{1}=3となる確率は \displaystyle \frac{1}{15}になります。

 X_{1}+X_{2}=5である場合の数は、

(a)  X_{1}=1,\ X_{2}=4のときと

(b)  X_{1}=2,\ X_{2}=3のとき

が考えられます。

これらの場合は同時には起こりませんので、場合分けをして数え上げていきます。

(a)のとき、カードの引き方は (1,4,5,6)の1通りです。

(b)のとき、カードの引き方は (2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6)の3通りあります。

したがって、 X_{1}+X_{2}=5となる確率は \displaystyle \frac{1+3}{15}=\frac{4}{15}となります。

(2)図形の問題は図を書くと分かりやすくなります。図に描くと以下のようになります。

 \triangle ACDと直線 BEメネラウスの定理を用いると \displaystyle \frac{AP}{AD}=1

 \triangle ACDと直線 BFメネラウスの定理を用いると \displaystyle \frac{AQ}{QD}=4であることがわかります。

これらのことから、 \displaystyle AP=\frac{1}{2}AD,\ QD=\frac{1}{5}ADですので、 \displaystyle PQ=\frac{3}{10}ADであることがわかります。

したがって、 AP:PQ:QD=5:3:2となります。

いかがだったでしょうか?

確率の問題は場合の数の数え上げが最も重要です。

メネラウスの定理やチェバの定理は意外とベクトルの問題でも使われることがあります。

どちらの問題も要注意な問題ですので、復習しておいた方がよさそうですね。

 

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東京女子大学の問題【2019年1日目第4問】

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今回は文系学部1日目第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

絶対値を含む方程式の実数解の判別の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

まずは f(x)=x^{3}-5x^{2}+3xの増減を調べます。

微分して導関数を求めると f^{\prime }(x)=3x^{2}-10x+3=(3x-1)(x-3)ですので、 f(x)の増減は次のようになります。

 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c}\hline x&\cdots &\displaystyle \frac{1}{3}&\cdots &3&\cdots \\ \hline f^{\prime }(x)&+&0&-&0&+\\ \hline f(x)&\nearrow &\displaystyle \frac{13}{27}&\searrow &-9&\nearrow \\ \hline \end{array}

したがって、この増減表から \displaystyle x=\frac{1}{3}のとき極大値 \displaystyle \frac{13}{27} x=3のとき極小値 -9であることがわかります。

また、 f(x)=0を解くと

 x^{3}-5x^{2}+3x=0

 x(x^{2}-5x+3)=0

ですので、解は \displaystyle x=0,\ \frac{5\pm \sqrt{13}}{2}となります。

ここまでが y=|x^{3}-5x^{2}+3x|のグラフを描く準備です。

グラフは以下のようになります。

上のグラフと直線 y=kとの交点が4点となるような kの値の範囲を求めれば、この問題は解決されます。

グラフと増減表より \displaystyle \frac{13}{27}\lt k\lt 9が求めるべき kの値の範囲です。

いかがだったでしょうか?

絶対値記号が含まれているので少し難しいかもしれません。

グラフについては、値が負になっているところを x軸で折り返せば描くことができます。

方程式の実数解の個数の判別はグラフを使えば簡単に行うことができますが、 |x^{3}-5x^{2}+3x|=k

 \left\{ \begin{array}{ccc} y&=&|x^{3}-5x^{2}+3x|\\ y&=&k\end{array} \right.

という連立方程式に考えるところが最も難しいところではないかと思います。

 

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東京女子大学の問題【2019年1日目第3問】

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今週は東京女子大学2019年の問題です。

今回は文系学部1日目第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

円に内接する四角形の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

円の半径がわかっている場合は正弦定理を用いることを考えてみます。

四角形 ABCDは半径3の円に内接するので、この四角形の頂点をもつ三角形も同じ円に内接します。

したがって、 \triangle ABDに正弦定理を用いると、 \displaystyle \sin{\angle BAD}=\frac{\sqrt{6}}{3}であることより BD=2\sqrt{6}になります。

 \triangle ABD余弦定理を用いると、 ADについての次の2次方程式が得られます。

 3AD^{2}+4\sqrt{3}AD-60=0

この2次方程式を解くと、 \displaystyle AD=-\frac{10\sqrt{3}}{3},\ 2\sqrt{3}が得られますが、 AD\gt 0より AD=2\sqrt{3}となります。

四角形 ABCDの面積を求めるためには、 BCの長さを求めておく必要がありますが、 \triangle BCD余弦定理を用いると BC=6が得られます。

円に内接する四角形の向かい合う角の和が 180^{\circ }であることから \sin{\angle BAD}=\sin{\angle DCB}です。

よって、四角形 ABCDの面積は \triangle ABD \triangle BCDの面積の和であるので、それぞれの面積を求めて計算すると 8\sqrt{2}となります。

いかがだったでしょうか?

正弦定理と余弦定理の問題ですが、良い練習台になりそうです。

特に正弦定理の問題は余弦定理と比べて出題が少ない気がします。

円の半径が出たら正弦定理が出るまで練習しておくとこのタイプの問題は強くなると思います。

 

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