マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2019年1日目第2問】

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今週は東京女子大学2019年の問題です。

今回は文系学部1日目第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

漸化式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

漸化式は次のように変形することができます。

 a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_{n})+1

したがって b_{n+1}=2b_{n}+1となります。

 \alpha =2\alpha +1となる \alpha を求めると、 \alpha =-1となりますので、数列 \{ b_{n}\}の漸化式は

 b_{n+1}+1=2(b_{n}+1)

と変形することができます。

また、数列 \{ b_{n}\}の初項は b_{1}=a_{2}-a_{1}=2なので、漸化式から

 b_{n}=3\cdot 2^{n-1}-1

を導くことができます。

数列 \{b_{n}\}のおき方から、数列 \{b_{n}\}は数列 \{ a_{n}\}の階差数列ですので n\geqq 2のとき

 \displaystyle a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}b_{k}

 =3\cdot 2^{n-1}-n-1

と導くことができ、この式は n=1のときも成り立ちますので、これが数列 \{ a_{n}\}の一般項となります。

いかがだったでしょうか?

漸化式の基本的な問題でした。

このタイプの問題は置き換えの仕方が問題文に書いていますので、その通りに進めていけば解くことができます。

あとはやり方ですが、このあたりは訓練が必要になってきそうです。

 

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東京女子大学の問題【2019年1日目第1問】

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今週は東京女子大学の2019年の問題です。

今回は文系学部1日目第1問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

条件に積分が含まれる3次関数の決定問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

 f(x+1)-f(x)=3ax^{2}+(3a+2b)x+a+b+cですので、 f(x+1)-f(x)=3x^{2}+x+1という条件から

 3ax^{2}+(3a+2b)x+a+b+c=3x^{2}+x+1

です。この等式が x恒等式ですので

 \left{ \begin{array}{ccc} 3a&=&3\\ 3a+2b&=&1\\ a+b+c&=&1\end{array}\right.

という連立方程式が成り立ちます。この連立方程式を解くと

 a=1,\ b=-1,\ c=1

となります。

 \displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dxと先ほどの結果から

 \displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{5}{12}+d

となります。 \int_{0}^{1}f(x)dx=1という条件から \displaystyle d=\frac{7}{12}ということが求められます。

いかがだったでしょうか?

恒等式の知識と積分の計算力が問われる問題でした。

難易度的には難しくないので良い練習台にはなるのではないかと思います。

入試問題には文字式を含む問題が多いので、このような易しめの問題で訓練するのも良さそうです。

 

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東京女子大学の問題【2018年2日目第4問】

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今週は東京女子大学2018年の問題です。

今回は文系学部2日目第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

直線と3次関数の曲線で囲まれた面積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

まずは図を描くために3次関数の増減を確認してみます。

 y=-x^{3}+4x導関数 y^{\prime }=-3x^{2}+4=-(3x^{2}-4)ですので、この3次関数は \displaystyle x=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}のとき極値をとります。

3次関数の増減は以下のようになります。

 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c}\hline x&\cdots &\displaystyle -\frac{2\sqrt{3}}{3}&\cdots &\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}&\cdots \\ \hline y^{\prime }&-&0&+&0&-\\ \hline y&\searrow &\displaystyle -\frac{16\sqrt{3}}{9}&\nearrow &\displaystyle \frac{16\sqrt{3}}{9}&\searrow \\ \hline \end{array}

次に接線を求めます。

曲線 C上の点 (t,-t^{3}+4t)における接線の方程式は y=(-3t^{2}+4)x+2t^{3}です。

この直線が点 (2,0)を通りますので、 tの方程式 t^{3}-3t^{2}+4=0が成り立ちます。

この方程式を解くと t=-1,\ t=2ですが、求める接線は点 P(2,0)以外の点で接しますので t=-1となります。

したがって、直線 Lの方程式は y=x-2です。

曲線 Cと直線 Lを図で表すと以下のようになります。

よって、 Qの座標は (-1,-3)となります。

曲線 Cと直線 Lとで囲まれる部分の面積は

 \displaystyle \int^{2}_{-1}(-x^{3}+3x+2)dx=\frac{27}{4}

となります。

いかがだったでしょうか?

積分を用いた面積の計算はグラフの上下関係を見ておく必要があります。

グラフを描くのが面倒であれば関数の大小関係を調べるのも良いです。

今回の場合であれば、区間 -1\leqq x\leqq 2 -x^{3}+4x\geqq x-2ですので、 y=x^{3}+4xのグラフが y=x-2のグラフの上側にあることがわかります。

 

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東京女子大学の問題【2018年2日目第3問】

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今回は文系学部2日目第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

折れ線の長さの最小値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

直線 y=2x+1に関して点 Bと対称な点を Cとしますと、直線 y=2x+1が線分 BCの垂直二等分線になります。

したがって、次の条件が成り立ちます。

・直線 BCと直線 y=2x+1が垂直に交わる

・点 Bと直線 y=2x+1との距離と点 Cと直線 y=2x+1との距離が等しい

 Cの座標を (p,q)とおきます。

直線 BCの傾きは \displaystyle \frac{q+2}{p-1}です。

直線 BCと直線 y=2x+1は垂直に交わりますので、 \displaystyle 2\cdot \frac{q+2}{p-1}=-1…①が成り立ちます。

 Bと直線 y=2x+1との距離は \displaystyle \frac{|2+2+1|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{5}

 Cと直線 y=2x+1との距離は \displaystyle \frac{|2p-q+1|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{|2p-q+1|}{\sqrt{5}}

したがって |2p-q+1|=5…②が成り立ちます。

式①と式②の連立方程式を解くと (p,q)=(1,-2),\ (-3,0)が得られますが、前者は点 Bの座標です。

よって Cの座標は (-3,0)となります。

折れ線 AP+PBの最小値は、線分 ACの長さに等しいので、点 Aと点 Cの2点間の距離を求めて 2\sqrt{13}となります。

 AP+PBが最小になる状況を図で表すと下の図のようになります。(赤い直線は y=2x+1、青い折れ線が AP+PB

いかがだったでしょうか?

折れ線の問題はよく目にします。

入試問題だけでなく、数学系の読み物でもよく目にします。

このタイプの問題の解き方はぜひ身に付けておきたいですね。

 

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今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

平行四辺形に関するベクトルの問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

 \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}

 \displaystyle =\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}

 \overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DQ}

 \displaystyle =\frac{2}{3}\vec{a}+\vec{b}

のように求めることができます。

 Rは線分 DP上にあるので tを実数とすると

 \overrightarrow{AR}=t\overrightarrow{AD}+(1-t)\overrightarrow{AQ}

 \displaystyle (1-t)\vec{a}+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}t)\vec{b}

また、点 Rは直線 AQ上にあるので \overrightarrow{AR}=k\overrightarrow{AQ}となる実数 kが存在します。

この2点から、次が成り立ちます。

 \displaystyle (1-t)\vec{a}+(/frac{1}{3}+\frac{2}{3}t)\vec{b}=\frac{2}{3}k\vec{a}+k\vec{b}

 \vec{a} \vec{b}は平行ではなく 0ベクトルでもないので、次の連立方程式が成り立ちます。

 \displaystyle \left\{ \begin{array}{ccc} 1-t&=&\frac{2}{3}k\\ \frac{1}{3}+\frac{2}{3}t&=&k \end{array}\right.

この連立方程式を解くと \displaystyle t=\frac{7}{13},\ k=\frac{9}{13}となりますので、 \displaystyle \overrightarrow{AR}=\frac{9}{13}\overrightarrow{AQ}であることがわかります。

したがって AR:RQ=9:4となります。

いかがだったでしょうか?

最初のほうはベクトルの基本的な計算によって求めることができます。

後半は位置ベクトルを用いた直線の表現を使えば overrightarrow{AR}を求めることができます。

いずれも基礎問題になりますので、入試問題を解く前に確認しておきたい問題です。

 

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今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

確率でよく出るさいころ投げの問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

 \displaystyle P(A)=\frac{1}{2},\ P(B)=\frac{5}{12}です。

条件付き確率は次のように求めます。

 \displaystyle P_{A}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},\ P_{B}(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

いずれを求めるにせよ P(A\cap B)の値が必要になります。

 P(A\cap B) xが偶数かつ x\gt yである確率ですので、それを求めると \displaystyle P(A\cap B)=\frac{1}{6}です。

したがって \displaystyle P_{A}(B)=\frac{1}{3},\ P_{B}(A)=\frac{2}{5}となります。

いかがだったでしょうか?

さいころ2個投げの問題は表を作れば簡単に解くことができます。

せいぜい36通りを数えていけば良いので、頑張れば中学生でも解けるのではないでしょうか。

場合の数が少ないときは直接数え上げていったほうが確実かもしれませんね。

 

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東京女子大学の問題【2018年1日目第4問】

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今週は東京女子大学の2018年の問題です。

今回は文系学部1日目第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

領域を図示する問題と点と直線の距離の最小値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

前半の領域を求める問題が少し難しいかと思います。

ですが、入試問題ではよく使いテクニックですので身に付けておいたほうが良いです。

 aがすべての実数の値を動くとき、直線 y=ax+1-a^{2}が通る点を (X,Y)とおきます。

直線の式を変形すると

 a^{2}-Xa+Y-1=0

となります。

 aは実数なので、この aについての2次方程式の判別式を Dとすると

 D=X^{2}-4Y\geqq 0

が条件となります。

この条件式を変形すると \displaystyle Y\leqq \frac{1}{4}X^{2}+1となります。

これを図示すると下の図のようになります。(求める領域は青く塗ってある部分で境界線上の点を含みます)

直線 ax-y+1-a^{2}=0と点 (0,4)との距離は

 \displaystyle \frac{|-a^{2}-3|}{\sqrt{a^{2}+1}}=\frac{a^{2}+3}{\sqrt{a^{2}+1}}

 \displaystyle =\sqrt{a^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{a^{2}+1}}

となります。

 \displaystyle \sqrt{a^{2}+1}\gt 0,\ \frac{2}{\sqrt{a^{2}+1}}\gt 0ですので、相加平均と相乗平均の関係より

 \displaystyle \sqrt{a^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{a^{2}+1}}\geqq 2\sqrt{\sqrt{a^{2}+1}\cdot \frac{2}{\sqrt{a^{2}+1}}}=2\sqrt{2}

等号成立条件は \displaystyle \sqrt{a^{2}+1}=\frac{2}{\sqrt{a^{2}+1}}すなわち a=\pm 1のときです。

このときが求める最小値ですので、直線 ax-y+1-a^{2}=0と点 (0,4)との距離の最小値は a=\pm 1のとき 2\sqrt{2}です。

いかがだったでしょうか?

前半が少し難しかったかもしれません。

式が aに関して2次式で、 aが実数であることから、2次方程式を作って判別式が 0以上であることを使うと条件をあぶり出すことができます。

ですが、この方法は訓練していかないと思いつかないかもしれません。

問題集でも載っていることが少ないですので、運が悪いと同じような問題に出会わない可能性がありそうな気がします。

 

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