ゴールデンウィークに突入！5月5日はジャグラーの日！

ご訪問ありがとうございます！解いた問題をマーク方式の問題にするブログです！が、今回はゴールデンウィークということで別のことをしようかと思います。私は趣味でスロットをたまーに打ちに行きますが、かなりの確率で負けて帰ってくるわけですよ。お金と時間を失って、「行かなければよかった」と後悔することが多々あります。最近はコロナ禍で行く機会は激減してしまいましたが、お店は開いているので行きたい…久しぶりに打ってみたい！とか思ったりします。行くなら勝ちたいですね。お店に行けば、後半になるとデータが出てくるので良さそうな台とか悪そうな台とかが見てわかりますが、良さそうな台に限って誰かが打っています。朝早くから見つけたら打ちますよね。見つける努力をした結果だから仕方ないです。残り物に良い台はあるのでしょうか？

ということで、少しずつ考察していこうと思います。お得意の数学を使いますが、専門的なことを使う場合は極力誰が読んでも理解できるように書いていこうと思います。

今回は1ゲーム当たりの期待度を考えようと思います。ここでいう期待度というのは1ゲーム行うとどれだけ得または損をするかということです。指標になるのが「期待枚数」ですが、確率の分野で言うと「期待値」です。期待値というのは1回の試行で得られる値の平均値のことで、「平均」と呼ばれることもあります。例えば、さいころを1回振って出る目の値の期待値は

(1/6)×1+(1/6)×2+(1/6)×3+(1/6)×4+(1/6)×5+(1/6)×6=7/2

ということになりますので、さいころを1回当たりの出る目の値の平均は7/2です。求め方は(とる値)×(その値が出る確率)の和です。もう一つ例を与えるとわかるかもしれません。10円玉と100円玉を同時に投げて、表が出た硬貨をもらえるゲームを行います。必要な情報は「もらえる金額」と「その事象が起こる確率」です。これらを求めてみると、次のようになります。

10円玉と100円玉が両方とも表→110円もらえる。確率は1/4

10円玉が表、100円玉が裏→10円もらえる。確率は1/4

10円玉が裏、100円玉が表→100円がもらえる。確率は1/4

10円玉と100円玉が両方とも裏→もらえない。(0円もらえると考える)確率は1/4

したがって、このゲームでもらえる期待金額は

(1/4)×110+(1/4)×10+(1/4)×100+(1/4)×0=55

となるので、55円が期待金額となります。このゲームがタダなら絶対にやりますよね。でもこのゲームが1回100円ならどうでしょうか？ハイリスク・ローリターンです。100円玉が裏が出た時点で損ですし、両方とも表が出ないとこちらが得をしません。同じことがスロットでも起こっています。

ジャグラーやニューパルサーのようなノーマルタイプのスロットであれば期待値を考えやすいかと思います。ART・ATタイプはあまり打ったことがないので仕組みがわかりませんが、おそらくART状態が毎ゲームで押し順が当たれば子役が揃って払い出しがあるというものでしょうか。（通常状態は順押し以外ペナルティーがあるので強制的に順押し、ART・AT状態に入れば押し順ナビが出るのであたりが揃えられるという仕組みだと私は思っています）私が思っていることが正解であればART・ATタイプの期待枚数を求めることができます。ノーマルタイプは1ゲームずつ独立したゲーム、つまり前後のゲームには影響がないので数学の教科書や専門書に書いてあるような計算をして期待枚数を求めても問題がないです。ただ、手計算でやるのはかなりしんどいです。そこでマイクロソフト様にお願いです！エクセルを使いましょう！ナムナム…。5号機のNEW I`m JUGLLERの期待枚数はこちらです！↓

確率はすべて数字の逆数をとったもので、解析値をもとに計算してあります。BIGは325枚、REGは104枚の払い出しがその場であると仮定しています。3枚掛けの確率なので期待枚数が3枚を下回れば損、上回れば得であるということができます。すべて取りこぼしがなければ設定3以上の台を打てば得をしそうですが、ベルとピエロはよく取りこぼします。むしろ揃うと嫌な予感しかしませんが。ベルとピエロをすべて取りこぼしたと仮定したものが真ん中の表です。一番下はベル・ピエロとさらにチェリーをすべて取りこぼした場合の表です。メーカー公表値の出玉率は

設定1 95.9％　設定2 96.7%　設定3 98.7%　設定4 100.8%　設定5 102.8%　設定6 105.2%

なので、メーカー公表値はチェリーをいくらか取りこぼした数値と考えて良さそうです。

設定4以上であれば得をする台であることはこのデータからわかりました。しかし、実際のホールさんではジャグラーといっても全台NEW I`m JUGLLERではありません。一緒じゃないか！とお考えの方もいると思いますが、機種によってスペックが違います。一番大きな違いはI`m JUGLLER系のBIGの平均払い出しが325枚ですが、それ以外は312枚です。同じなのはゲーム性だけです。スペックが違うとどうなるかは次回、他のジャグラーシリーズも計算してありますので、考えていこうと思います！

良かったらまたお越しください！

今週の問題ver2021.15～ラングレーの問題・太郎君のノート2ページ目～

ご訪問ありがとうございます！解いた問題をマーク方式にして公表するブログです！

少しずつ暖かくなってきましたが、夜がまだまだ寒いです。昼と夜で気温差が大きいので服装に気を付けていきたい時期です。体調を崩されないようにお気を付けください。

今回の問題は二等辺三角形に関する問題です。昔に出された有名な難問で「ラングレーの問題」と呼ばれています。「二等辺三角形　問題」と検索したら出てきたので、すぐに解けるだろうと思いましたが、まぁ～、ノーヒントじゃ無理ですね。(ToT)

二等辺三角形の性質を使うだけでいけるとは思いましたが、補助線を引く必要がありましたね。他にも解く方法があるみたいですが、そのうちの一つを問題にして紹介しようと思います。

今回の問題で必要な知識

・二等辺三角形の性質

三角形の辺のうち2辺の長さが等しい

三角形の角のうち2つの角の大きさが等しい

・正三角形の性質

三角形の3つの辺の長さが等しい

三角形の角の大きさがすべて等しく、その大きさは６０°

・三角形の合同条件

3組の辺の長さがそれぞれ等しい

2組の辺の長さとその間の角の大きさがそれぞれ等しい

1組の辺の長さとその両端の角の大きさがそれぞれ等しい

特に二等辺三角形の三角形の角の大きさに注目すると方針が見えてくるだろうと思います。ただ、補助線の引き方ですよ…。どうやったらそんなん思いつくん？って言いたい！経験なのでしょうか？こういうところが図形の嫌なところなんですよね。Wikipediaさんに頼りましたが、よく思いつくよね。ホントに。

ポイントは参考図２の△DEFと△BDFが二等辺三角形であることを確かめるというところでしょうか。誘導なしだと難問ですが、参考図２のところまで誘導があれば難易度は高校入試レベルまでには下がると思います。出てもおかしくなさそうですね。最後の答えだけを探してこのページにたどりついた人もいるかもしれませんので言いますが、∠BDEの大きさは３０°です。

二等辺三角形を学んだ太郎君は次は平行四辺形を学ぶようです。

今週の問題ver2021.14〜スロットの設定を見破れるか！？〜

ご訪問ありがとうございます！作った問題を共通テストっぽくするブログです！

趣味でスロットをすることがありますが、10年に1回改定が入るようで現在はその境目というのでしょうか。いわゆる5号機が撤去されて6号機が導入されているところです。私はほとんどジャグラーしか打たないのでそんなに関係無いように思いますが、まぁ、勝てないですね。機種関係無くコテンパンにやられているのが現状です。そのせいもあるのか、最近は全く行く気がしません。今年は2回しか行ってませんね。一時期は休みであれば必ず行っていました。よく考えればほとんど負けてはいますが、出た時は楽しいですね。最高で5000枚出したことがあります。ジャグラーでも出る時は出るんですね。最近のは設定が入る気がしないので行きたくありませんが…。

今回の問題はそのジャグラーをモデルにした問題です。私が打つときは順押しでゲーム消化をしていますが、何も考えずに打っているのでチェリーのフォローはしていません。なので、後告知の時はチェリー重複かどうかがわからないことが多いです。そこで気になっていたのですが、後告知の時にチェリー重複であった期待度はどのくらいなのかを計算してみました。問題は高校生に出すことを想定しているのでBIGボーナスなどの言葉は使わないようにしています。問題のボーナス1＝BIGボーナス、ボーナス2＝REGボーナス、子役＝チェリーと考えていただけるとジャグラーと同じになります。ちなみにアイムジャグラーの設定6をモデルにしています。

今回の問題で必要な知識

・確率の計算

同時に起こらない→和の法則

独立な試行→積の法則

・条件付き確率

事象Aが起こった時の条件付き確率は「事象Aが起こる」ことが前提で考える。つまり、事象Aが起こる部分しか考えない。

このような問題はノーマルタイプのスロット機であれば作りやすいですね。AT機やART機だと個人的にはあまり打たないので仕組みがわかりません。期待値の問題も作れそうですね。ちなみにですが、1回計算した結果設定6でも3枚未満でした。つまり、打つと必ず負けるということです。なので、スロットの必勝法は「打たない」が正解だと思います。

ですが、打っちゃうんですよね〜。( ・∇・)

ランプが見たい、当たった時の快感を味わいたい…とか。ちょっと病気ですね。（笑）打つのであればやはり高設定の方がいいに決まっています。ジャグラーに設定差が最も大きいのはチェリー重複のREGボーナスであることは周知の事実ですし、解析値もそのように出ています。なので、チェリー重複のREGボーナスがどれだけ引けたのかが指標になると思います。しかし、適当打ちをすると見抜けないことが多々あります。先告知であれば左リールにBARを狙えば確かめられますが、後告知の場合はリールを全て止めてから告知がされるので手遅れです。そこで使えそうなのが条件付き確率ですが、後告知であった場合、それがチェリー重複のREGボーナスである条件付き確率は最後のナニ/ヌネノ=67/455ですが、百分率で表すと14%くらいです。設定6でこの値になるので他の設定ではもっと低くなるかと思います。やはり設定を見破るにはチェリーをフォローする必要があります。当然ながら適当打ちでは設定は見破るのは不可能に近いかもしれません。

今週の問題ver.2021.13〜三角形の外接円の半径と内接円の半径の比〜

ご訪問ありがとうございます！解いた数学の問題を共通テストっぽくしていくブログです！いよいよ新年度が始まりました！学年が上がり、入学式が終わってそろそろ授業が始まる季節です。自分も学生の時はドキドキしながら新年度を毎年迎えていました。不安だけど期待しているという感じでしょうか。社会人になると新社会人を迎えてすぐ現実、日常が待っていて学生と比べるとあまり刺激がないような感じの生活って感じですかね。あぁ。刺激が欲しい…。

今週、またしても暗いニュースが飛び込んできました。渡る世間は鬼ばかりの脚本家の橋田壽賀子氏がお亡くなりになりました。95歳でした。このドラマは祖母がよく観ていました。そういえば、江頭2:50がこの方にキスしていましたね。エガちゃんねるで裏話とか語っていましたが、今回の件でコメント聞いてみたいです。

さて、今回の問題は三角形の外接円の半径と内接円の半径の関係についての問題です。今回もこちらを参考にしました。↓

ooya-takemasa.thick.jp

今回の問題で必要な知識

・余弦定理

・正弦定理

・三角形の面積と内接円の半径との関係

・三角関数の加法定理

図形の問題やベクトルの問題は三角関数の知識を必要とすることが多いので、「図形と計量」「図形の性質」「三角関数」「ベクトル」の単元の知識は同時に扱えるようにしておきたいですね。また、中学で習った知識も意外と使うことがあります。例えば相似な図形を見つけたりだとか、二等辺三角形の性質を使ったりだとか…。おさえておかなくてはいけないことが多くて大変ですね。

高校入試では図が書いてあることが多いですが、大学入試などでは図が書いていないことが多いです。その場合は問題文をしっかり読んで図を描くようにすると問題の全貌が見えてきます。「図を書け」という問題は出題されないので、自分がわかるような図で大丈夫です。

この問題の類題が岡山理科大学で出題されていました。入試問題も解いたら更新しようと思います。

まだまだコロナ禍から抜け出せない状況ではありますが、新年度がスタートしたので今年は良い年にできるようになればいいですね！^ ^

今週の問題ver.2021.12〜等差数列に等比数列が含まれる条件〜

ご訪問ありがとうございます！数学の問題を共通テストっぽくして垂れ流すブログです！

ついに4月がやってまいりました。急に暖かくなってきました。先月までは暖房を入れていましたが、今週から冷房を入れております。いやぁ、暑い！

「北の国から」のあの俳優さんがお亡くなりになったようです。予告編とかで見ててどこかで見たような気がすると思ったら大正漢方胃腸薬のCMに出てた人か。ここ最近、有名人の訃報が多くてびっくりしています。去年は志村けんがお亡くなりになってしまいました。これだけは信じたくなかったですね。

今回の問題は等差数列の中に等比数列が含まれる条件についてです。面白そうな問題だったので、ここからお借りしました。↓

ooya-takemasa.thick.jp

他にも面白そうな問題がありますので、是非お立ち寄りください。

今回の問題で必要な知識

・等差数列の一般項

初項a、公差dの等差数列の一般項は a+(n-1)d

・等比数列の一般項

初項a、公比rの等比数列の一般項は ar^(n-1)

・いろいろな証明法

対偶法→元の命題とその対偶は真偽が一致するので、元の命題が証明しづらい場合は対偶をとってそれを証明する方法

背理法→結論を否定して矛盾を導く方法

直接証明法→命題を直接証明する方法

数学的帰納法→自然数に対する命題で用いられる証明法で、n=1の時成り立つことを示し、n=kの時成り立つことを仮定してn=k+1の時成り立つことを証明する方法

対角線論法→背理法の一つで、例えば自然数全体の集合と実数全体の集合の濃度が異なることを証明する時に用いられる

紹介したページには等差数列に等比数列が含まれる条件の証明が載っています。等差数列と等比数列と漸化式の知識があれば理解できるかと思います。しかし、こんな条件を最初に思いついたのは誰なんでしょうか。よく見つけましたよね！

今週の問題ver2021.11～接点ｔ～

ご訪問ありがとうございます！数学の問題をマーク式にして問題を垂れ流すブログです。

いよいよ4月が近づいてまいりました。新生活の準備はお済でしょうか？私は何の変化もなくこのまま現状維持であります。知らねぇか(笑)とにかく早くコロナウィルスが収束してほしいです。何も気を遣わずに出かけたいですね。電車がすきなのでホームで眺めたいです。

今週の問題ですが、ここからお借りしました。↓

www.youtube.com

今回の必要な知識は

・導関数と接線との関係

f(x)の導関数をf'(x)とするとき、y=f(x)上の点(t,f(t))における接線の方程式はy=f'(t)(x-t)+f(t)

・関数の増減と方程式

xの方程式f(x)=aの解はy=f(x)の増減を観察して直線y=aとの交点の個数を見る

数学Ⅱの微分法の問題です。どこの入試問題なのでしょうか？それとも予備校の練習問題か何かでしょうか？おそらく

「曲線y=x^3-3xについて、その曲線上にない点(a,b)から曲線に引いた接線の本数が3本となるような条件(a,b)を図示せよ。」

という問題の解説だろうと思います。この問題自体は

「点(a,b)から曲線y=f(x)に引いた接線の本数を求めよ」

というタイプの問題と

「xの３次方程式f(x)=aの実数解の個数をaの値によって判別せよ」

というタイプの問題がしっかり解けるようになっていれば自力でも解けるかと思います。

この解説している先生、興奮すると口が悪くなるんですね。こんな授業だったらビビッてちびっちゃうかもしれません(笑)かなりクセのある先生ですね。中学も高校も大学も大学院でもこんな先生はいませんでした。大学院の先生は違う意味で怖かったですがね。いくつかこの先生の動画を見ましたが、毎回徐々に興奮してヤクザっぽい口調になっていく気がします。多分、数学が相当お好きなんでしょう。自分もそうですが、好きなことをしてる時って結構素が出ますよね。

最近YouTubeでおすすめにこの先生が出てきたので感想を書いてみました。ブチギレている場面が多いので怖い先生かと思いましたが、言っていることを聞いているとまともなことを生徒にきちんと伝えているような感じですね。今の時代、ここまではっきり言ってくれる先生は他にいないのではないでしょうか。こんな先生に出会えた方がうらやましく思います。今年大学受験だって人やこれから予備校に通うって人にはこの先生に出会うチャンスがあるようです。↓

www.youtube.com

今週の問題ver2021.10～複素数平面入門～

ご訪問ありがとうございます！共通テストで出そうな問題を作って垂れ流すブログです。

最近はまた東北地方で大きい地震が頻発しています。この2か月で阪神・淡路大震災級の地震が来てますが、これが東日本大震災の大きい地震の余震だそうです。恐ろしいですよね。南海トラフもこうなるのかな？ただ、南海トラフ地震の予兆のような現象は起こっているようです。↓こちらで解説をしてくれています。

「阪神・淡路大震災」は「南海トラフ巨大地震」の前兆か？ - YouTube

3月も半分が終わってしまい、4月がやってきます。今は入学手続きの時期でしょうか。通常であれば遊びたい時期でしょうけど、まだまだ新型コロナウィルスが終息していないので油断ができない状況です。

今回の問題は数学Ⅲの「複素数平面」の話が入っていますが、問題自体は数学Ⅱまでの知識で解けるようにしています。共通テストの出題方針にも沿っているので、このような問題も出題される可能性があるのではないでしょうか。

今回の問題を解くにあたって必要な知識は

・恒等式

等式P(x)=Q(x)がすべてのxの値について成り立つ

・係数比較法

・方程式

等式P(x)=Q(x)があるxの値について成り立つ

・複素数の相等

a+bi=x+yiである必要十分条件はa=xかつb=y

・三角関数の加法定理

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

これを見ると、数学Ⅱの知識ばかりで数学Ⅲの知識は全然使っていません。ということは、数学Ⅲは数学Ⅱ・Bまでがちゃんとできていればできる⁉かもしれません。でも、数学Ⅱ・Bまでの知識が数学Ⅲの基礎になっているのは間違いないですね。

現在の数学Ⅲのおおまかな内容は

・複素数平面

・2次曲線

・関数

・数列・関数の極限

・微分法とその応用

・積分法とその応用

となっていますが、後半は微分積分学の1変数のところとほぼ同じです。大学数学の入門みたいな感じですね。数学Ⅰは中学の数学の発展みたいな感じですが、世界が全然違うような感じがします。が、基礎を積み重ねていけば大丈夫です。履修の順番も学習指導要領で下のように決まっています。

数学Ⅰ→（並行可）数学A

↓　　↘

数学Ⅱ　数学B

↓

数学Ⅲ

ちなみに、数学Aと数学Bは「生徒の特性や学校の実態、単位数等に応じて内容を適宜選択させる」となっているのですべての単元を履修する必要はないです。なので、センター試験でも選択問題になっています。ほとんどの高校では数学Bは「数列」と「ベクトル」をすると思いますが、これは大学側が出題範囲を決めているからです。このことは大学の募集要項に記載されています。

下位科目は上位科目の基礎となっています。数学Ⅲをこれから履修する準備として今までの総復習をしておくことをお勧めします…。