2024-04-24

必要条件・十分条件の問題【0に゙収束する数列と無限級数】

数列必要条件・十分条件

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

次の条件 $p,\ q$ を考える

$\displaystyle p:\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ が収束する

$\displaystyle q:\lim_{n\to \infty }a_{n}=0$

このとき、 $p$ は $q$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちどれが適するか。

今回の問題について

今回は数学Ⅲの分野で注意すべき必要条件・十分条件の問題です。

必要十分条件のように思えますが、そうではないので要注意です。

今回の問題の解説

命題 $p\Longrightarrow q$ を考えます。

条件 $p$ より $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{n}$ とし、 $\displaystyle \lim_{n\to \infty }S_{n}=S$ とおきます。

このとき、 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$ なので

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty }a_{n}&=&\lim_{n\to \infty }(S_{n}-S_{n-1})\\ &=&\lim_{n\to \infty }S_{n}-\lim_{n\to \infty }S_{n-1}\\ &=&S-S\\ &=&0\end{eqnarray*}$

したがって、この命題は真です。

命題 $q\Longrightarrow p$ を考えます。

上の図の赤いグラフは $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ です。

また、紫色の部分の面積は $\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$ となっています。

したがって、次のことが考えられます。

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\gt \int_{1}^{n+1}\frac{dx}{x}$

ここで

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{n}\frac{dx}{x}&=&\left[ \log{|x|}\right] _{1}^{n+1}\\ &=&\log{(n+1)}\end{eqnarray*}$

であるので

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\gt \log{(n+1)}$

が成り立ちます。

この不等式から、 $n\to \infty$ のとき $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\log{(n+1)}=+\infty$ ですので $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ は発散することがわかります。

ところが、 $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$ ですので、これがこの命題の反例となります。

したがって、この命題は偽です。

以上から、 $p$ は $q$ であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか？

数学Ⅲの分野でも色んな定理が出てきますが、必ずしも必要十分条件ではないです。

その一つとして、今回の0に収束する数列と無限級数が収束する数列の関係があります。

無限級数が収束する場合は、その級数の項で作られる数列は $0$ に収束しますが、 $0$ に゙収束する数列の無限級数は必ずしも収束しないことに注意が必要です。

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2024-04-21

必要条件・十分条件の問題【2016年東京都教員採用試験】

教員採用試験の過去問必要条件・十分条件

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

$x+y\not= 3$ または $x-y\not= 1$ であることは $x\not= 2$ または $y\not= 1$ であるための（　）

今回の問題について

2016年東京都教員採用試験で出題された問題です。

条件を否定して対偶を取れるかどうかがポイントです。

今回の問題の解説

次の2つの命題の真偽を調べます。

(1) $x+y\not= 3$ または $x-y\not= 1\Longrightarrow x\not= 2$ または $y\not= 1$

(2) $x\not= 2$ または $y\not= 1\Longrightarrow x+y\not= 3$ または $x-y\not= 1$

命題に「または」の言葉が入っている場合は対偶を取ると上手くいく場合があります。

ということで、それぞれの対偶を考えてみます。

(3) $x=2$ かつ $y=1\Longrightarrow x+y=3$ かつ $x-y=1$

(4) $x+y=3$ かつ $x-y=1\Longrightarrow x=2$ かつ $y=1$

(3)の命題は(1)の命題の対偶、(4)の命題は(2)の命題の対偶です。

対偶の命題の真偽は必ず元の命題の真偽と一致します。

今回の問題はこのことを使って必要条件・十分条件を判定していきます。

(3)の命題について、 $x=2$ かつ $y=1$ のとき

$x+y=3,\ x-y=1$

を満たしているので、この命題は真です。

したがって、(1)の命題も真です。

(4)の命題については、次の連立方程式を満たしていることが仮定になります。

$\left\{ \begin{array}{ccc} x+y&=&3\\ x-y&=&1\end{array}\right.$

この連立方程式を解くと $x=2,\ y=1$ となりますので、この命題は真となります。

したがって、(2)の命題も真となります。

以上から、 $x+y\not= 3$ または $x-y\not= 1$ であることは $x\not=2$ または $y\not= 1$ であるための「必要十分条件」となります。

いかがだったでしょうか？

今回の問題は対偶をとって必要条件・十分条件の判定を行いました。

このままでは証明がしづらいと思ったら、命題の対偶を取ると上手くいく場合があります。

一度考えてみて「いけそう」と思ったら対偶を取ってみると良いかと思います。

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2024-04-20

九州女子大学の過去問【2020年一般入試A日程】

入試問題の解説

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今回の問題

九州女子大学2020年一般入試A日程の問題です。

少し難易度が上がって、入試問題らしくなったといったところでしょうか。

問題の難易度について

難易度は☆☆☆です。

易しい入試レベルくらいです。共通テストで出題されても良いくらいの問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

(1) $\displaystyle \frac{1}{x}$ の値を求めると

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}&=&\frac{2}{1+\sqrt{5}}\\ &=&\frac{2(\sqrt{5}-1)}{5-1}\\ &=&\frac{2(\sqrt{5}-1)}{4}\\ &=&\frac{\sqrt{5}-1}{2}\end{eqnarray*}$

となります。したがって

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}&=&\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) ^{2}\\ &=&\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{6-2\sqrt{5}}{4}\\ &=&\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}\\ &=&1\end{eqnarray*}$

となります。

(2)対称式の値は、基本対称式 $x+y$ の値と $xy$ の値が分かれば求めることができます。

$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\ y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ より $x+y=1,\ xy=-1$ なので

$\begin{eqnarray*} 4x^{2}+4y^{2}+3xy&=&4(x^{2}+y^{2})+3xy\\ &=&4\left\{ (x+y)^{2}-2xy\right\} +3xy\\ &=&4\cdot \left\{ 1^{2}-2\cdot (-1)\right\} +3\cdot (-1)\\ &=&4\cdot (1+2)-3\\ &=&12-3\\ &=&9\end{eqnarray*}$

となります。

(3) $\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$ なので

$\begin{eqnarray*} x^{2}+\frac{1}{x^{2}}&=&\left( x+\frac{1}{x}\right) ^{2}-2\\ &=&5-2\\ &=&3\end{eqnarray*}$

となります。

答：1…①　2…⑨　3…③

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

三角比の相互関係を用いて $\cos{\theta }$ または $\sin{\theta }$ に揃えます。

$\sin{\theta }$ の方は変形できませんが、 $\cos^{2}{\theta }$ の方は $1-\sin^{2}{\theta }$ に変形ができます。

よって、関数を変形していくと

$\begin{eqnarray*} y&=&3(1-\sin^{2}{\theta })-3\sqrt{2}\sin{\theta }-1\\ &=&-3\sin^{2}{\theta }-3\sqrt{2}\sin{\theta }+2\\ &=&-3\left( \sin{\theta }+\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ^{2}+\frac{7}{2}\end{eqnarray*}$

となります。

$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ より $0\leqq \sin{\theta }\leqq 1$ なので、 $y$ は

$\sin{\theta }=0$ すなわち $\theta =0^{\circ },\ 180^{\circ }$ のとき最大値 $2$ をとり、

$\sin{\theta }=1$ すなわち $\theta =90^{\circ }$ のとき最小値 $-1-3\sqrt{2}$ をとります。

答：4…④　5…⑥

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

統計に関する用語がしっかり理解できているかがポイントです。

用語の定義に基づいて計算をしていくだけです。

(1)テストAの平均は

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}(9+5+5+7+9)&=&7\end{eqnarray*}$

(2)テストAの分散は

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}\left\{ (9-7)^{2}+(5-7)^{2}+(5-7)^{2}+(7-7)^{2}+(9-7)^{2}\right\} &=&3.2\end{eqnarray*}$

(3)同じようにテストBの平均と分散を求めると、平均は $3$ 、分散は $0.8$ となります。

テストAとテストBの共分散は

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}\left\{ (9-7)(4-3)+(5-7)(2-3)+(5-7)(3-3)\right.&\ &\ \\ \left.+(7-7)(2-3)+(9-7)(4-3)\right\} &=&1.2\end{eqnarray*}$

(4)相関係数を求める際は、小数を分数に直しておくと計算しやすくなります。

$\begin{eqnarray*} \frac{1.2}{\sqrt{3.2}\sqrt{0.8}}&=&\frac{\frac{6}{5}}{\sqrt{\frac{16}{5}}\sqrt{\frac{4}{5}}}\\ &=&\frac{\frac{6}{5}}{\frac{8}{5}}\\ &=&\frac{3}{4}\\ &=&0.75\end{eqnarray*}$

となります。

答：6…⑧　7…⑤　8…⑦　9…⑤

問題と問題の解説（第4問）

第4問

第4問の解説

(1)不等式 $2x^{2}+x-6\geqq 0$ を解くと

$\begin{eqnarray*} 2x^{2}+x-6&\geqq &0\\(2x-3)(x+2)&\geqq &0\end{eqnarray*}$

となりますので、 $\displaystyle x\leqq -2,\ \frac{3}{2}\leqq x$ …①となります。

不等式 $4x^{2}-15x+9\leqq 0$ を解くと

$\begin{eqnarray*} 4x^{2}-15x+9&\leqq &0\\ (4x-3)(x-3)&\leqq &0\end{eqnarray*}$

となりますので、 $\displaystyle \frac{3}{4}\leqq x\leqq 3$ …②となります。

したがって、連立不等式の解は、①と②の共通部分になりますので $\displaystyle \frac{3}{2}\leqq x\leqq 3$ となります。

(2)絶対値の取り扱いは以下のようになります。

$|a|=\left\{ \begin{array}{cc} a&(a\geqq 0)\\ -a&(a\lt 0)\end{array}\right.$

つまり、絶対値記号の中身の符号で場合分けを行う必要があります。

$x^{2}-10\geqq 0$ すなわち $x\leqq -\sqrt{10},\ \sqrt{10}\leqq x$ のとき、方程式は

$x^{2}+3x-10=0$

となります。この方程式を解くと

$\begin{eqnarray*} x^{2}+3x-10&=&0\\ (x+5)(x-2)&=&0\end{eqnarray*}$

$x$ の値の範囲に注意すると、解は $x=-5$ となります。

$x^{2}-10\lt 0$ すなわち $-\sqrt{10}\lt x\lt \sqrt{10}$ のとき、方程式は

$x^{2}-3x-10=0$

となります。この方程式を解くと

$\begin{eqnarray*} x^{2}-3x-10&=&0\\ (x-5)(x+2)&=&0\end{eqnarray*}$

$x$ の値の範囲に注意すると、解は $x=-2$ となります。

したがって、 $|x^{2}-10|+3x=0$ の解は $x=-2$ と $x=-5$ が答えになります。

答：10…⑤　11…②

問題と問題の解説（第5問）

第5問

第5問の解説

(1)5本の平行線のうち2本の組合せとと4本の平行線のうち2本の組合せを選べば良いので、できる平行四辺形の数は

$_{5}C_{2}\times _{4}C_{2}=60$ 個

できます。

(2)平面上に8個の点があり、どの3つの点も一直線上にないという条件があります。

このとき、2点を通る直線は、8個の点のうち2個の点を選ぶ組合せの総数に等しいので $_{8}C_{2}=28$ 本あります。

また、この8点でできる三角形の総数は、8個の点のうち3個の点を選ぶ組合せに等しいので、 $_{8}C_{3}=56$ 個あります。

答：12…⑥　13…②　14…⑤

問題と問題の解説（第6問）

第6問

第6問の解説

高校の授業以降になると、確率を求める際に場合の数が大きくなることが多々あって計算が大変になる場合があります。

そういうときは、掛け算の形のまま計算すると楽になることが多いです。

例えば、今回の問題ですと、全事象の場合の数が $_{20}C_{3}=1140$ 通りとなりますが、ここまで計算してしまうと確率を求めるときの最後の処理が面倒になります。

確率の計算は約分できる場合が多いので

$\begin{eqnarray*} _{20}C_{3}&=&\frac{20\cdot 19\cdot 18}{3\cdot 2\cdot 1}\\ &=&20\cdot 19\cdot 3\end{eqnarray*}$

のようにして、このままの状態で確率の計算を行っていきます。

読むだけでは解りづらい部分があるので、計算の部分まで解説していきます。

(1)3枚のカードとも同じ数字になる場合の数は、（数字の選び方） $\times$ （色の選び方）で求められます。

数字は1から5までで、ここから1つ選べば良いので5通りあります。

色は赤、青、黄色、緑の4つあり、各色同じ数字は1つずつしか無いので、色の選び方は $_{4}C_{3}=4$ 通りあります。

よって、3枚のカードとも同じ数になる確率は

$\begin{eqnarray*} \frac{5\cdot 4}{20\cdot 19\cdot 3}&=&\frac{1}{19\cdot 3}\\ &=&\frac{1}{57}\end{eqnarray*}$

となります。

(2)f3枚のカードのうち、赤いカードが1枚だけになる場合の数は、赤いカード5枚から1枚選び、赤以外の15枚のカードから2枚選べば良いので

$_{5}C_{1}\times _{15}C_{2}=5\cdot 15\cdot 7$ 通り

となります。したがって、3枚のカードのうち、赤いカードが1枚だけになり確率は

$\begin{eqnarray*} \frac{5\cdot 15\cdot 7}{20\cdot 19\cdot 3}&=&\frac{5\cdot 7}{4\cdot 19}\\ &=&\frac{35}{76}\end{eqnarray*}$

となります。

(3)3枚のカードとも色も数字も異なる場合の数は、数字の選び方が5つのうち3つを選ぶ組合せで、色の方は数字の方に区別がありますので、4つのうち3つを選ぶ順列になります。

その場合の数は $_{5}C_{3}\times _{4}P_{3}=10\cdot 4\cdot 3\cdot 2$ 通りあります。

よって、3枚のカードとも数も色も異なる確率は

$\begin{eqnarray*} \frac{10\cdot 4\cdot 3\cdot 2}{20\cdot 19\cdot 3}&=&\frac{4}{19}\end{eqnarray*}$

となります。

答：15…⑦　16…⑨　17…③

問題と問題の解説（第7問）

第7問

第7問の解説

正四面体の面は正三角形で、正三角形の外心と重心は一致することに注意します。

(1)正四面体の一辺の長さは、三平方の定理を用いると $\sqrt{2}$ となります。

(2)できた正四面体の高さを $h$ とすると、最初の注意と三平方の定理を用いると

$\begin{eqnarray*} h^{2}&=&(\sqrt{2})^{2}-\left( \frac{\sqrt{6}}{3}\right) ^{2}\\ &=&2-\frac{2}{3}\end{eqnarray*}$

となりますので、 $\displaystyle h=\frac{2}{\sqrt{3}}$ となります。

したがって、四面体の体積は

$\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$

となります。

(3)四面体の1つの頂点から向かいの面に垂直な直線を下ろしたものの上に四面体の各頂点を通る球の中心があります。

その垂線に沿って四面体を切ると、その断面に直角三角形が現れます。その参考図が下になります。

点 $O$ が正四面体の各頂点を通る球の中心です。また、線分 $BC$ の長さは正四面体の高さになることに注意してください。

球の半径を $R$ とすると、三平方の定理より次が成り立ちます。

$\displaystyle \left( \frac{2}{\sqrt{3}}-R\right) ^{2}+\frac{2}{3}=R^{2}$

この方程式を解くと $\displaystyle R=\frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

答：18…⑥　19…③　20…④

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回は前回までと比べて手応えがあるように感じました。

とはいえ、ほとんどが基礎問題ですが。

計算量が多いので、ミスしないように気をつけておかなければいけません。

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2024-04-17

必要条件・十分条件の問題【2018年東京都教員採用試験】

教員採用試験の過去問必要条件・十分条件

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

(1) $a+b,\ ab$ がともに有理数であることは $a$ と $b$ がともに有理数であるための（　）

(2) $a+b,\ ab$ がともに無理数であることは $a$ と $b$ がともに無理数であるための（　）

今回の問題について

2018年東京都教員採用試験で出題された問題です。

必要条件・十分条件の問題でよく出る数の演算に関する問題です。

今回の問題の解説

(1)の問題について

次の2つの命題の真偽を調べます。

・ $a+b,\ ab$ がともに有理数 $\Longrightarrow a,\ b$ がともに有理数

・ $a,\ b$ がともに有理数 $\Longrightarrow a+b,\ ab$ がともに有理数

前者の命題は $a=\sqrt{2},\ b=-\sqrt{2}$ が反例となりますので、偽の命題です。

後者の命題は真の命題です。

以上から、 $a+b,\ ab$ がともに有理数であることは $a,\ b$ がともに有理数であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

(2)の問題について

次の2つの命題の真偽を調べます。

・ $a+b,\ ab$ がともに無理数 $\Longrightarrow a,\ b$ がともに無理数

・ $a,\ b$ がともに無理数 $\Longrightarrow a+b,\ ab$ がともに無理数

前者の命題については $a=\sqrt{2},\ b=1$ のとき、

$a+b=\sqrt{2}+1,\ ab=\sqrt{2}$

で、ともに無理数ですが、 $b$ は無理数ではありませんのでこれが反例となります。

したがって、この命題は偽です。

後者の命題については $a=\sqrt{2},\ b=-\sqrt{2}$ のとき、 $a$ と $b$ はともに無理数ですが

$a+b=0,\ ab=2$

で、 $a+b,\ ab$ どちらも無理数ではありませんので、これが反例となります。

したがって、この命題は偽です。

以上から、 $a+b,\ ab$ がともに無理数であることは $a$ と $b$ ともに無理数であるための「必要条件でも十分条件でもない」となります。

いかがだったでしょうか？

このタイプの問題は命題を立てて反例を見つけるほうが早そうです。

$a$ と $b$ がともに無理数で $a+b$ と $ab$ がともに無理数でない例を覚えておくと良いと思います。

そうしておくと、問題を見ただけで必要十分条件ではなさそうであることはわかるようになってきます。

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2024-04-14

必要条件・十分条件の問題【2018年大阪府教員採用試験】

教員採用試験の過去問必要条件・十分条件

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

(1)四角形 $ABCD$ について、四角形 $ABCD$ が正方形であることは $AB=BC=CD=DA$ であるための（　）

(2) $n$ 角形 $P$ について、 $P$ のすべての内角それぞれが $180^{\circ }$ 未満であることは $n=4$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」

今回の問題について

2018年大阪府教員採用試験で出題された問題です。

必要条件・十分条件の問題は前回のものと合わせて3問出題されました。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題「四角形 $ABCD$ が正方形 $\Longrightarrow AB=BC=CD=DA$ 」の真偽を調べます。

正方形の性質として

・すべての辺の長さが等しい

というものがあります。

この性質から $AB=BC=CD=DA$ であることが言えますので、この命題は真です。

命題「 $AB=BC=CD=DA\Longrightarrow$ 四角形 $ABCD$ は正方形」の真偽を調べます。

すべての角の大きさが $90^{\circ }$ ではないひし形は $AB=BC=CD=DA$ を満たしていますが、この図形は正方形ではありません。

したがって、この命題は偽となります。

以上から、四角形 $ABCD$ が正方形であることは $AB=BC=CD=DA$ であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

(2)の問題について

命題「 $n$ 角形 $P$ のすべての内角それぞれが $180^{\circ }$ 未満 $\Longrightarrow n=4$ 」の真偽を調べます。

正五角形の1つの内角の大きさは

$\{ 180^{\circ }\times (5-2)\} \div 5=108^{\circ }$

ですので、仮定を満たしていますが $n=5$ ですので、結論を満たしていません。

したがって、この命題は偽です。

命題「 $n=4\Longrightarrow n$ 角形 $P$ のすべての内角それぞれが $180^{\circ }$ 未満」の真偽を調べます。

以下の図形は四角形です。

この図形において、 $\angle BCD$ は $180^{\circ }$ より大きいので、この図形が反例となります。

よって、この命題は偽です。

以上から、 $n$ 角形 $P$ のすべての内角それぞれが $180^{\circ }$ 未満であることは $n=4$ であるための「必要条件でも十分条件でもない」となります。

いかがだったでしょうか？

前回の問題と合わせて3問とも図形に関する問題でした。

図形の問題は図形の性質を熟知しておかないと解くのが難しい場合があります。

一度三角形や四角形の図形の性質をまとめておくのが良いかもしれませんね。

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2024-04-13

九州女子大学の過去問【2019年一般入試C日程】

入試問題の解説

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今回の問題

九州女子大学2019年C日程の問題です。

問題の難易度について

難易度は☆☆です。

同じ年のA日程、B日程の問題より易しいと思います。第3問あたりまでは中学生でも解けそうな気がします。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

$a=\sqrt{5}+2$ の小数部分を $b$ とするとき、 $2\lt \sqrt{5}\lt 3$ より

$4\lt a\lt 5$

が成り立ちますので、 $b=a-4=\sqrt{5}-2$ となります。

よって

$\begin{eqnarray*} a+b&=&(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)\\ &=&2\sqrt{5}\\ ab&=&(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)\\ &=&5-4\\ &=&1\end{eqnarray*}$

となります。また、

$\begin{eqnarray*} a^{2}+ab-2b^{2}&=&(\sqrt{5}+2)^{2}+1-2(\sqrt{5}-2)^{2}\\ &=&5+4\sqrt{5}+4+1-2(5-4\sqrt{5}+4)\\ &=&10+4\sqrt{5}-18+8\sqrt{5}\\ &=&12\sqrt{5}-8\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}&=&(a+b)^{2}-2ab\\ &=&(2\sqrt{5})^{2}-2\cdot 1\\ &=&20-2\\ &=&18\end{eqnarray*}$

より

$\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}+\frac{a}{b}&=&\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}\\ &=&\frac{18}{1}\\ &=&18\end{eqnarray*}$

となります。

答：1…②　2…①　3…⑤　4…⑧

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

以下のように計算していきます。

$\begin{eqnarray*} 3\sqrt{12}-\frac{12}{\sqrt{3}}+\sqrt{27}&=&6\sqrt{3}-4\sqrt{3}+3\sqrt{3}\\ &=&5\sqrt{3}\\ \sqrt{\frac{2}{3}}-\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{6}}&=&\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{6}}\\ &=&\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{6}\\ &=&\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sqrt{6}\\ &=&0\cdot \sqrt{6}\\ &=&0\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{27}-\frac{4}{\sqrt{8}}+\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{6}}-\frac{18}{\sqrt{3}}&=&3\sqrt{3}-\sqrt{2}+5\sqrt{2}-6\sqrt{3}\\ &=&4\sqrt{2}-3\sqrt{3}\end{eqnarray*}$

答：5…⑩　6…②　7…⑩

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

該当する数を列挙して数えたほうが早そうです。

(1) $54,\ 60,\ 66,\ 72,\ 78,\ 84,\ 90,\ 96$ の $8$ 個が $6$ の倍数です。

(2)(1)であげた数のうち、 $72$ と $96$ が $8$ の倍数ですので、これを除いて、求める場合の数は $6$ 個です。

(3) $52,\ 57,\ 62,\ 67,\ 72,\ 77,\ 82,\ 87,\ 92,\ 97$ の $10$ 個が $5$ で割ると $2$ 余る数です。

(4) $3,\ 4,\ 6$ の最小公倍数は $12$ ですので、 $12$ の倍数であるものを見つければ良いということになります。

その数は $60,\ 72,\ 84,\ 96$ の $4$ 個です。

答：8…⑤　9…③　10…⑥　11…①

問題と問題の解説（第4問）

第4問

第4問の解説

反復試行の確率の問題です。

$1$ の目が出る確率は $\displaystyle \frac{1}{6}$ 、それ以外の目が出る確率は $\displaystyle \frac{5}{6}$ です。

このことに考慮して確率を求めていきます。

(1) $1$ の目がちょうど $2$ 回出る確率は

$\begin{eqnarray*} _{4}C_{2}\left( \frac{1}{6}\right) ^{2}\left( \frac{5}{6}\right) ^{2}&=&6\times \frac{1}{6^{2}}\times \frac{5^{2}}{6^{2}}\\ &=&\frac{25}{216}\end{eqnarray*}$

(2) $1$ の目がちょうど $3$ 回出る確率は

$\begin{eqnarray*} _{4}C_{3}\left( \frac{1}{6}\right) ^{3} \left( \frac{5}{6}\right) &=&4\times \frac{1}{6^{3}}\times \frac{5}{6}\\ &=&\frac{20}{6^{4}}\end{eqnarray*}$

$4$ 回とも $1$ の目が出る確率は $\displaystyle \frac{1}{6^{4}}$ なので、 $1$ の目が $3$ 回以上出る確率は

$\begin{eqnarray*} \frac{20}{6^{4}}+\frac{1}{6^{4}}&=&\frac{21}{6^{4}}\\ &=&\frac{7}{432}\end{eqnarray*}$

$4$ 回目に $3$ 度目の $1$ が出る確率は、 $3$ 回目までに $1$ の目が出たあと、 $4$ 回目に $1$ の目が出れば良いので、求める確率は

$\begin{eqnarray*} _{3}C_{2}\left( \frac{1}{6}\right) ^{2}\left( \frac{5}{6}\right) \times \frac{1}{6}&=&3\times \frac{1}{6^{2}}\times \frac{5}{6}\times \frac{1}{6}\\ &=&\frac{5}{432}\end{eqnarray*}$

となります。

答：12…②　13…⑦　14…⑥

問題と問題の解説（第5問）

第5問

第5問の解説

$x^{2}+y^{2}=1$ を満たすとき、 $2x^{2}+2y-1$ の最大値と最小値を求める問題です。

$2x^{2}+2y-1$ を $x$ か $y$ どちらか1種類の文字で表したいところですが、条件式 $x^{2}+y^{2}=1$ が2次式ですので、 $x^{2}$ を $y$ で表すことを考えます。

条件式から $x^{2}=1-y^{2}$ ですので、これを $2x^{2}+2y-1$ の式に代入してみます。そうすると

$\begin{eqnarray*} 2x^{2}+2y-1&=&2(1-y^{2})+2y-1\\ &=&-2y^{2}+2y+1\\ &=&-2\left( y-\frac{1}{2}\right) ^{2}+\frac{3}{2}\end{eqnarray*}$

となります。 $y$ の取りうる値の範囲は、 $x^{2}\geqq 0$ なので $1-y^{2}\geqq 0$ です。この不等式を解くと

$-1\leqq y\leqq 1$

です。したがって、 $x^{2}+y^{2}=1$ を満たすとき、 $2x^{2}+2y-1$ は

$\displaystyle x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2},\ y=\frac{1}{2}$ のとき最大値 $\displaystyle \frac{3}{2}$

$x=0,\ y=-1$ のとき最小値 $-3$ をとります。

答：15…⑦　16…②　17…⑤　18…④

問題と問題の解説（第6問）

第6問

第6問の解説

図形の問題は図を描いて状況を把握すると、解く方針が見えてきます。

下の図は参考図です。

三角形の内心を $I$ とすると、内心は各頂点の二等分線の交点にあたります。

したがって、赤い点線と緑色の点線はそれぞれ $\angle A,\ \angle C$ の二等分線です。

この問題では、角の二等分線と比に関する定理を用いて解いていきます。

今回の問題の場合ですと、直線 $AD$ （赤い点線）は辺 $BC$ を $AB:AC$ に分けますので

$BD:DC=AB:AC$

が成り立ちます。

問題の題意から $AB=8,\ AC=6$ ですので、 $AD:DC=4:3$ …①となります。

よって、 $DC$ の長さは、全体を $4+3=7$ 等分したうちの $3$ つ分であることが①よりわかりますので

$\displaystyle DC=\frac{3}{7}\times BC=\frac{27}{7}$

となります。

また、直線 $CI$ （緑色の点線）は $\angle C$ の二等分線ですので

$\begin{eqnarray*} AI:ID&=&CA:CD\\ &=&6:\frac{27}{7}\\ &=&42:27\\ &=&14:9\end{eqnarray*}$

となります。

答：19…⑤　20…⑥

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

教科書の内容をしっかりと理解していれば解ける問題ばかりでした。

特に最初の3問は中学生が解けても不思議ではない問題でした。

しかし、入試問題であっても根底は中学数学にあると思いますので忘れてしまわないように、今回のような問題で復習するのも良い対策になるかもしれません。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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2024-04-10

必要条件・十分条件の問題【正三角形と三角形の五心】

教員採用試験の過去問必要条件・十分条件

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

$\triangle ABC$ が正三角形であることは $\triangle ABC$ の内心と重心が一致するための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

今回の問題は2018年大阪府教員採用試験で出題された問題です。

ですが、高校の定期テストや大学入試、その他の試験でもよく出る問題です。

今回の問題の解説

今回の問題の答えは「必要十分条件」である。が正解です。

解答にあたっては証明は必要ありませんが、今回は証明を付けて解説します。

$\triangle ABC$ が正三角形であることの十分性

命題「 $\triangle ABC$ が正三角形 $\Longrightarrow \triangle ABC$ の内心と重心が一致する」を証明します。

命題の証明

$\triangle ABC$ の重心を $G$ とし、直線 $AG$ と辺 $BC$ との交点を $D$ とする。

$\triangle ABD$ と $\triangle ACD$ において

$\triangle ABC$ は正三角形なので $AB=AC$ …①

直線 $AG$ は $\triangle ABC$ の中線なので $BD=CD$ …②

共通な辺なので $AD=AD$ …③

①、②、③より、3組の辺がそれぞれ等しいので $\triangle ABD\equiv \triangle ACD$

合同な図形の対応する角の大きさは等しいので $\angle BAD=\angle CAD$

したがって、直線 $AG$ は $\angle BAC$ の二等分線である。

同様に、直線 $BG$ 、 $CG$ はそれぞれ $\angle ABC$ 、 $\angle BCA$ の二等分線である。

ゆえに、3つの頂点の角の二等分線は点 $G$ で1点で交わるので、点 $G$ は $\triangle ABC$ の内心である。

$\triangle ABC$ が正三角形であることの必要性

命題「 $\triangle ABC$ の内心と重心が一致する $\Longrightarrow \triangle ABC$ が正三角形」を証明します。

命題の証明

$\triangle ABC$ の内心および重心を $G$ とする。

直線 $AG$ と辺 $BC$ との交点を $D$ とする。

点 $D$ は辺 $BC$ の中点になるので $BD=CD$ …①

直線 $AG$ は $\angle CAB$ の二等分線なので

$AB:AC=BD:DC$ …②

①、②より $AB=AC$

同様に $BC=BA$ 、 $CA=CB$ であることが言えるので、 $\triangle ABC$ は正三角形である。

いかがだったでしょうか？

正三角形の外心、内心、重心、垂心はすべて一致します。

逆に三角形の外心、内心、重心、垂心のうち、どれか2つが一致すればその三角形は正三角形になります。

証明は大変ですが、このことを覚えていると今回のような問題は即答できるようになります。

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第1問

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